Fractions
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc $$
Produit en croix
Algèbre Fondamentale
Binôme de Newton
$$ (a + b)^n = \sum \binom{n}{k} a^{n-k}b^k $$
Développement des puissances
Algèbre Fondamentale
Matrices
$$ (A \times B)_{i,j} = \sum a_{i,k} \times b_{k,j} $$
Calcul matriciel linéaire
Algèbre Fondamentale
Binôme
$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
Coefficients combinatoires
Algèbre Fondamentale
Éq. Second Degré
$$ x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$
Résolution par le discriminant
Algèbre Fondamentale
Éq. Troisième Degré
$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$
Structure des polynômes cubiques
Algèbre Fondamentale
Pythagore
$$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 $$
Relation entre les côtés côtés dans un triangle rectangle
Espace & Formes
Thalès
$$ BC \parallel DE \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) $$
Proportionnalité des longueurs
Espace & Formes
Héron
$$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
Aire dans un triangle ordinaire
Espace & Formes
Trigonométrie
$$ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $$
Identité circulaire
Espace & Formes
Nombres complexes
$$ z = a + ib $$
Expression d'un nombre complexe
Espace & Formes
Formule de Moivre
$$ (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) $$
Puissance complexe
Espace & Formes
Formules d'Euler
$$ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) $$
Lien exponentiel
Espace & Formes
Produit scalaire
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos \theta $$
Projection orthogonale
Espace & Formes
Produit vectoriel
$$ \|\vec{u} \land \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin \theta $$
Orthogonalité spatiale
Espace & Formes
Int. Lagrangienne
$$ L(x) = \sum_{i = 0}^n y_i L_i(x) $$
Interpolation polynomiale à l'aide de points
Dynamique des Fonctions
Méthode de Newton
$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$
Approximation d'un nombre par itérations successives
Dynamique des Fonctions
Règle de l'Hôpital
$$ \lim_{x \to \alpha} \ \frac{f'(x)}{'g(x)} = l \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)} $$
Levée d'indétermination
Dynamique des Fonctions
Dérivation / convexité
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
Courbure des fonctions
Dynamique des Fonctions
Intégrales
$$ F(x) = \int_a^x \ f(t) \ dt + F(a) $$
Calcul des aires
Dynamique des Fonctions
Th. accroissements finis
$$ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} $$
Pente moyenne
Dynamique des Fonctions
Éq. différentielles
$$ y' + ay = f $$
Modèles d'évolution
Dynamique des Fonctions
Développements limités
$$ f(x) \approx \sum \frac{f^{(k)}(x)}{k!} (x-a)^k $$
Approximation polynomiale
Dynamique des Fonctions
Sommes usuelles
$$ \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
Propriétés de sommation
Discret & Théorie des Nombres
Suite de Fibonacci
$$ F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} $$
Récurrence linéaire
Discret & Théorie des Nombres
Séries convergentes
$$ \int_{0}^n f(t) \ dt \leqslant \sum_{k = 0}^n f(k) \leqslant \int_{1}^{n + 1} f(t) \ dt $$
Comparaison séries-intégrales
Discret & Théorie des Nombres
Divisibilité
$$ a/b \enspace et \enspace b/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$
Division euclidienne
Discret & Théorie des Nombres
Algo. d'Euclide
$$ b \nmid a \ \Longrightarrow \ a = bq + R $$
Recherche du PGCD
Discret & Théorie des Nombres
Propriétés du PGCD
$$ PGCD(a, b) \times PPCM(a, b) = ab $$
Identité de Bézout
Discret & Théorie des Nombres
Nombres premiers
$$ p / ab \implies p / a \text{ ou } p / b $$
Fondations arithmétiques
Discret & Théorie des Nombres
Congruences
$$ a \equiv b \hspace{0.2em} \bigl[ n \bigr] \Longleftrightarrow n/(a -b) $$
Arithmétique modulaire
Discret & Théorie des Nombres
Bézout
$$ a \wedge b = 1 \iff \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$
Coprimalité
Discret & Théorie des Nombres
Gauss
$$ a / bc \enspace \text{ et } \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$
Divisibilité
Discret & Théorie des Nombres
Fermat
$$ a^p \equiv a \pmod{p} $$
Propriété des nombres premiers
Discret & Théorie des Nombres
